Гришин Анатолий Михайлович родился 20 февраля 1939 года в г. Саратов в семье студентов Саратовского автодорожного института. Великую Отечественную войну семья Гришиных встретила в Западной Белоруссии, где родители работали на строительстве военных аэродромов. Оба они были призваны в армию. Отец прошел всю войну в составе военно-строительных частей, возводил мосты и прокладывал дороги. Мать была демобилизована из армии из-за болезней сына. После окончания войны отец остался служить в армии и по работе вместе с семьей часто переезжал в разные города страны.
Среднюю школу окончил в Ростове-на-Дону. В 1956—1961 года учился в Саратовском государственном университете, окончил Университет по специальности "Механика", дипломную работу выполнил под руководством С. В. Фальковича.
В 1961—1963 годах работал в Саратовском политехническом институте, ассистент кафедры теоретической механики. В 1963—1966 годах учился в аспирантуре на кафедре физики Саратовского государственного педагогического института по специальности "Газовая динамика".
C 1966 года работал в Томском государственном университете (ТГУ), старший преподаватель кафедры теоретической механики, в 1967 году защитил диссертацию на тему "Решение некоторых задач теории горения" на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
В 1969 году утвержден в ученом звании доцента по кафедре "теоретическая механика".
В 1973—1980 годах работал в Научно-исследовательском институте прикладной математики и механики (НИИ ПММ) при ТГУ, заведующий сектором, с 1975 года — заведующий лабораторией аэротермохимии.
В 1974 году защитил докторскую диссертацию на тему "Математического моделирование некоторых нестационарных аэротермохимических явлений", вызвавшую дискуссии, ученая степень доктора физико-математических наук была присвоена только в 1976 году. В 1977 году присвоено ученое звание профессора по специальности механика жидкости, газа и плазмы.
В 1977—1981 годах — декан механико-математического факультета (ММФ) ТГУ.
В 1977 году при поддержке академика Н. Н. Яненко на ММФ ТГУ основал кафедру физической механики (ныне физической и вычислительной механики).
Научные интересы заключались в исследовании сложных аэротермохимических явлений и процессов переноса в некоторых многофазных реагирующих средах, сопряженных задач механики реагирующих сред, обратных задач аэротермохимии, задач термохимического разрушения тел при их входе в плотные слои атмосферы тепловой защиты гиперзвуковых аппаратов.
Крупнейший отечественный специалист по математическому моделированию лесных пожаров и способов борьбы с ними. А.М. Гришиным были разработаны детерминированно-вероятностные модели некоторых природных и техногенных катастроф, в рамках которых удается определить вероятность их возникновения и экологические последствия.
Заслуженный деятель науки Российской Федерации (1999 год).
Анатолий Михайлович Гришин умер 7 июля 2018 года в г. Томске.
Некоторая библиография:
Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними.
Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1992. 408 с.
Введение в аэротермохимию.
Саратов: изд-во Саратовского госуниверситета. 1978. 417 c.
(Соавт. Алексеев Б. В.)
Моделирование и прогноз катастроф. Часть 1.
Томск: Изд-во ТГУ. 2003. 524 с.
Моделирование и прогноз катастроф. Часть 2.
Томск: Изд-во ТГУ. 2005. 560 с.
Моделирование и прогноз катастроф. Часть 3.
Томск: Изд-во ТГУ. 2007. 576 с.